Ludvig Vitgenštajn, austrijski filozof, osim što je poznat po svojim raspravama i djelima o jeziku, logici i matematici, u naučnoj javnosti se za njegovo ime veže i jedan paradoks.

Wittgensteinov paradoks o ograničenim pravilima sastoji se u nemogućnosti određivanja sigurnih, jedinstvenih pravila koja vrijede za određeni skup podataka. Ovaj paradoks dolazi do izražaja kada iz malog broja ponuđenih elemenata pokušavamo utvrditi po kojem principu određeni element slijedi nakon prethodnog elementa. Ako je broj elemenata suviše mali, onda možemo reći da je moguće primijeniti različita pravila (principe) njihove povezanosti, tako da je svaki princip jednako vrijedan.

 Zašto nam je ovaj paradoks bitan u kontekstu testova inteligencije?

Uzmimo za primjer da neki zadatak u testu inteligencije glasi ovako:

”Dopunite niz:  2, 4, __, __ …”

Kao što vidimo, data su nam samo dva broja (elementa) na osnovu čijeg međuodnosa trebamo zaključiti o opštem pravilu (principu) koji leži u pozadini nastavljanja ovog niza.

Odmah možemo reći da su ovo parni brojevi, te da je rješenje ovog zadatka: 6 i 8.

Međutim, postoji mogućnost da je svaki sljedeći element niza jednak zbroju dva prethodna elementa. U ovom slučaju, rješenje bi bilo: 6 (2+4) i 10 (4+6).

Još jedno rješenje je jednako moguće: svaki sljedeći broj (element) je jednak kvadratu prethodnog broja u nizu. Ovdje je rješenje: 16 (4 na kvadrat), 256 (16 na kvadrat).

Takođe, princip na kojem je zasnovan ovaj niz brojeva može biti: svaki sljedeći broj je, ustvari, prethodni broj pomnožen sa dva. Rješenje: 8 (2 x 4), 16 (2 x 8).

Peto rješenje možemo dobiti kada uzmemo u obzir razliku između ponuđenih brojeva. Ako vrijedi princip da se razlika između dva susjedna broja u nizu stalno povećava za jedan (tj. prvo je bila 4-2= 2, kasnije će biti 3, pa 4…), onda dolazimo do sljedećeg rješenja: 7 (jer je 7-3= 4), 11 (jer je 11-4= 7).

Uzmimo još jedan primjer (ovdje treba dopuniti niz geometrijskih figura):

Možemo primijetiti da imamo ukupno tri elementa na osnovu kojih trebamo odrediti četvrti. Vidimo da je broj stranica (ili uglova) na prvoj slici 3, na drugoj 4, a na trećoj 6. Razlika između broja stranica na drugoj i prvoj slici je jedan, a između treće i druge figure dva.

Stoga bi sljedeća figura trebala imati tri stranice (odnosno ugla) više od prethodne. Dakle, rješenje bi moglo biti devetougao (6+3 = 9).

Međutim, šta ako se broj stranica sljedeće figure dobija množenjem broja stranica prethodne dvije figure, te dijeljenjem rezultata sa dva? Npr. za šestougao to je (3 x 4) / 2 = 6, pa bi četvrta figura po istom principu trebala imati 12 uglova ( (4 x 6) / 2 = 12 ). Dakle, i ovdje je moguće više od jednog rješenja.

Konfuzija se smanjuje kada povećavamo broj elemenata, premda i tada postoji mogućnost da ima više rješenja, koja često znaju biti proizvod vrlo komplikovanih pravila o odnosima među brojevima. Postavlja se sljedeće pitanje: ”Da li je ispravno ne uvažiti ta rješenja, već prihvatiti samo ona jednostavnija?” Odgovor na ovo pitanje može se dati u vidu praktičnih savjeta kojih se treba držati pri testiranju inteligecije: ”U uputi za ispunjavanje testa treba naglasiti da, ukoliko kandidati pronađu nekoliko rješenja jednog te istog zadatka, kao svoj definitivni odgovor napišu ono jednostavnije. Takođe, u ovoj vrsti zadataka treba ponuditi dovoljno (velik broj) elemenata, kako bi se iskristaliziralo jedno rješenje, te kako ne bi bilo nedoumica druge vrste.”

Izvrsno štivo koje na zanimljiv način ilustruje Vitgenštajnov paradoks je knjiga Oksfordski niz (prevedena i kao Neprimetni zločini) autora Giljerma Martineza, po kojoj je snimljen film ”Oksfordska ubistva”.

Pripremio: Selman Repišti